《高中数学论文》《高中生》“是结点也是拐点”.doc
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1、是结点,也是拐点谈简化高考解析几何题运算的技巧山东省无棣县第一高级中学 张雪松 251900直线与圆锥曲线的位置关系问题一直是学生学习、复习、高考中的难点,究其源大多不在思维的起始,却在思维的落实之中,由于运算量大、计算繁难、数据处理技巧性强,学生往往半途而废.而新课程考试大纲关于“数据处理能力”和“运算求解能力”的要求在高考中最好的依托便是运算层面高于思维层面的解析几何问题,正是“入之愈深,其进愈难,而其见愈奇”,是结点,也是拐点!技巧一:常规性程序巧变化例1.(2012年高考重庆理科第20题)如图所示,设椭圆的中心为原点,长轴在轴上,上顶点为,左、右焦点分别为,线段的中点分别为,且是面积为
2、的直角三角形.()求该椭圆的离心率和标准方程;()过作直线交椭圆于两点,使,求直线的方程.难度系数:0.6分析:()利用待定系数法结合图形特征可求得椭圆方程;()设出直线的方程,与椭圆方程联立,利用设而不求的思路,依据垂直关系求得方程的参数.由于直线过点,可设直线方程为点斜式,为避免讨论斜率的存在与否,可另巧设直线方程,从而简化运算!解:(1)设所求椭圆的标准方程为,右焦点为因为B1AB2直角三角形,又|AB1|=|AB2|,故B1AB2为直角,因此|0A|=|OB2|,得结合得在RtB1AB2中,OAB1B2,故因此所求椭圆的标准方程为()由(1)知B1(-2,0),B2(2,0).由题意知
3、直线的倾斜角不为0,故可设直线的方程为,代入椭圆方程得设又由PB2QB2,得所以满足条件的直线有两条,其方程分别为和.小结:本题考查椭圆的性质、直线与椭圆的相交位置关系.多数情况下,圆锥曲线的解题程序化设(点、直线或曲线方程)、联立、消元、判别式及韦达定理.在这常规化的程序中也恰恰孕育着灵动的技巧,如在设直线方程时,当直线可能垂直于轴时,直线方程应该分斜率是否存在两种情形进行讨论,但应用例1中的技巧可以回避这个易错点,因为斜率不存在时,m=0.此外用纵坐标转化已知条件更值得深省,移步换景才会柳暗花明.当然这种设法也有不适合的情形,即当直线垂直于轴时,斜率为0,而m的值不存在,在审题时要注意洞察
4、这一特殊情形.技巧二:典型性问题模式化例2(2013年高考新课标卷理科第20题)平面直角坐标系中,过椭圆右焦点的直线交于两点,为的中点,且的斜率为.()求的方程;()为上两点,若四边形ACBD的对角线,求四边形ACBD面积的最大值.难度系数:0.44分析:()为弦的中点,则其坐标与弦所在直线的斜率以及端点坐标之间有着密切关系.若曲线所对应的弦与中点有关系,我们常把弦的两端点的坐标代入到曲线方程中去然后把所得两方程相减,整理得到一个既有直线斜率又有弦的中点坐标的式子,这种方法一般称之为“点差法”;()表示四边形ACBD面积的关键是表示出边CD的长度,此处可利用弦长公式处理.解:()设则两式相减得
5、即又由题意知,椭圆的右焦点为故所以椭圆的方程为()由得由题意可设直线CD的方程为设由得因为直线CD的斜率为1,由已知,四边形ACBD的面积当n=0时,S取得最大值,最大值为所以四边形ACBD的面积的最大值为小结:本题考查了圆锥曲线的中点弦问题,“弦”是考查直线与圆锥曲线位置关系的典型应用情境,因此,对于圆锥曲线中的有关特征弦(如原点弦、焦点弦、中点弦、定点弦等),借助其与曲线方程、图形及性质的特殊联系,采取模式化处理策略可简化运算.如本例若采用常规方法求解,运算量大且易错,恰当运用“点差法”设而不求的技巧,可实现数量间合理的转化、及相应知识的合理转移,使未知转化为已知,运算更加简捷,但在利用此
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